Determinazione di un'orbita mediante dati osservativi
Aggiornato al 4 Ottobre 2005
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(24 Agosto 1999) Uso di FIND_ORB per l'orbita dell'oggetto Cassini!
Aggiornamenti al programma
(6 Ott 2005) I file in italiano per Find_Orb sono stati ulteriormente aggiornati, grazie a Giuliano Pinto. Quasi tutto il programma è ora in italiano, e una certa parte in francese. (Chi fosse interessato a tradurre Find_Orb in altre lingue può fare clic qui per avere informazioni sulle modalità da seguire.
(4 Ott 2005) Non c'è più il controllo sull'ampiezza del passo di integrazione. Non è più necessario: ora il programma Find_Orb trova automaticamente l'ampiezza opportuna del passo in ogni punto dell'integrazione. Questo fa aumentare enormemente la velocità di elaborazione ed aumenta anche l'accuratezza del calcolo. In passato, gli utenti talvolta caricavano i dati osservativi di qualche satellite artificiale senza diminuire opportunamente l'ampiezza del passo, ottenendo risultati assurdi. Ora questo non dovrebbe accadere più.
(4 Ott 2005) Find_Orb può ora leggere le effemeridi dalla pagina NEOCP ("Near-Earth Object Confirmation Page", Pagina di Conferma degli Oggetti Vicini alla Terra) del "Minor Planet Center" come se si trattasse di dati osservativi. Per far questo, occorre impostare le effemeridi NEOCP come se si riferissero ad una stazione MPC topocentrica (il motivo è che una stazione topocentrica include anche i dati di parallasse, rendendo la determinazione della distanza molto più accurata). Vanno salvate le effemeridi complete, compresa la riga che dice "Below are the results of your request" (Qui sotto vi sono i risultati della vostra richiesta), ecc.
Oltre a scegliere un codice MPC topocentrico, e magari cambiare le opzioni "Start ephemerides at now + (spazio) hours", per il resto vanno lasciate le impostazioni predefinite. Cioè, dovreste trovare impostato il passo delle effemeridi a 1 ora, il tabulato completo, e le posizioni espresse completamente in gradi sessagesimali. La pagina va salvata come file di puro testo (ASCII), va caricata come dato d'ingresso in Find_Orb, e si dovrebbe vedere a questo punto la lista degli oggetti NEOCP. Basta ora fare clic su uno di essi e richiederne l'orbita, proprio come se il file d'ingresso fosse stato ottenuto da dati osservativi personali.
Qualche avvertenza: se si fa clic su "File... Salva la Pagina", in realtà non si ottiene di salvare la pagina. Al contrario, il file salvato contiene un messaggio di errore, che dice che non è stato selezionato nessun oggetto per le effemeridi. Per evitare l'inconveniente, ho trovato questo metodo: Scegliere l'opzione "Seleziona tutto" (oppure selezionare tutto il testo con il mouse), premere i tasti Ctrl-C (Copia), quindi andare su una pagina vuota di un programma di elaborazione testi (anche il Blocco note di Windows va bene) e premere Ctrl-V (Incolla).
Inoltre, i dati del "Minor Planet Center" non sempre includono le perturbazioni per gli oggetti NEOCP. Può sembrare strano, dal momento che gli oggetti sono del tipo NEO, cioè vicini alla Terra. Però può succedere che se si selezionano la Terra e la Luna come oggetti perturbatori per uno di questi NEOCP, l'orbita impazzisce. È meglio quindi non selezionare tali perturbatori, o perché i dati dell'MPC includono già le perturbazioni, oppure perché l'oggetto è così lontano che le perturbazioni sono comunque trascurabili.
Inoltre, ho corretto un difetto che, credo, impediva al programma di funzionare su macchine MAC. Ho anche fatto una modifica al sottoprogramma che determina l'orbita iniziale per privilegiare (con un piccolo margine) il moto diretto rispetto a quello retrogrado.
Il terzo motivo per cui mi accorgo che sta funzionando è nel fatto che ho avviato Find_Orb con i dati dell'asteroide (197) Arete, prendendo i dati astrometrici da AstDyS. (Vedere il prossimo paragrafo relativo all'uso dei dati AstDyS). Questo oggetto ha effettuato un passaggio molto ravvicinato all'asteroide Cerere, alcuni decenni fa, e la risultante deviazione della sua orbita è stata usata per determinare la massa di Cerere. Ho trovato che, se cerco una soluzione con l'opzione "Asteroidi" inserita, l'errore RMS diminuisce un poco, rispetto all'errore RMS ricavato senza l'opzione "Asteroidi".
(22 Feb 2005) Precedentemente, il programma poteva leggere i dati osservativi soltanto nel formato MPC da 80 colonne. Adesso è possibile far leggere al programma tali dati anche nei formati NEODyS e AstDyS .rwo. Questa possibilità è molto utile, poiché in tal modo si possono ricavare i dati astrometrici completi, per la maggior parte degli asteroidi, direttamente dai siti Web corrispondenti.
(22 Feb 2005) Il codice sorgente di Find_Orb può essere ora compilato, per ottenere una applicazione molto più utilizzabile, ideale per l'uso con DOS e Linux. Viene usata ora la libreria curses sotto entrambe le piattaforme. In un certo qual modo, l'applicazione risultante è ora più "agghindata" delle applicazioni Windows.
(22 Feb 2005) I dati osservativi mostrati in basso nella finestra di dialogo, quando si fa clic su una osservazione sono ora molto più comprensibili.
(14 Dic 2004) Sono stati corretti alcuni errori nella generazione delle effemeridi e nella funzione per 'salvare i residui'. (Ad alcuni utenti si è verificato un blocco del sistema, usando queste funzioni).
(14 Dic 2004) L'orbita iniziale, determinata quando sono stati inseriti i primi dati osservativi di un oggetto, è ora molto più accurara. Per la maggior parte degli oggetti, infatti, può soddisfare subito le esigenze dell'utente.
(?? Maggio 2004) Vi è ora un bottone "Peggiori oss.". Se si fa clic su questo bottone, Find_Orb evidenzierà, tra le osservazioni inserite, quelle con i peggiori residui. Si può allora decidere di escludere dal calcolo quei dati osservativi .
(?? Maggio 2004) Oltre all'opzione precedente, vi è anche un nuovo bottone "Filtra oss.".
(26 Ago 2003) E' stato fatto qualche miglioramento all'opzione "pseudo-MPEC". Alcune delle possibilità già esistenti, come, per esempio, editare la lista dei siti Web degli osservatori, sono ora meglio documentate.
(11 Apr 2003) Vi è ora un bottone Gauss, per determinare l'orbita mediante questo metodo.
(11 Apr 2003) L'opzione "pseudo-MPEC" ha ora la possibilità di collegare i dati testuali di latitudine e longitudine di un osservatorio con le mappe che indicano dove quel certo osservatorio si trova sulla superficie terrestre. Inoltre, come è spiegato nel collegamento riportato sopra, è anche possibile far sì che il programma Find_orb inserisca il vostro nome negli elementi orbitali.
(11 Apr 2003) I dati astrometrici relativi al satellite IMP8, in orbita attorno alla Terra, mi hanno finalmente consentito di valutare il comportamento di Find_Orb per quanto riguarda lo schiacciamento polare del globo terrestre, il cosiddetto "effetto J2". (Per questa verifica, è necessario un satellite che orbiti abbastanza vicino alla Terra, per un periodo di tempo abbastanza lungo. L'effetto J2 si attenua molto rapidamente con l'aumentare della distanza dalla Terra. Satelliti come J002E3, per esempio, sono quasi totalmente esenti da tale effetto). E' risultato che la forza dovuta a J2 era stata calcolata correttamente, ma con il segno sbagliato. Ora l'errore è stato corretto. (Ho seri dubbi che ci sia qualcuno che usi Find_Orb in situazioni in cui tale effetto abbia importanza!).
(7 Mar 2003) Sono stati corretti due errori che causavano il blocco del sistema (per alcuni utenti) quando si tentava di generare una effemeride oppure di usare il nuovo metodo di Monte Carlo. Il primo blocco di sistema si verificava se si usava il sottoprogramma incluso in Find_Orb, per il calcolo delle posizioni planetarie, anziché ottenere le posizioni planetarie dalle effemeridi JPL DE. Anche se questo errore è stato ora corretto, l'uso delle effemeridi DE è comunque altamente consigliato. Il programma infatti in tal caso sarà molto più veloce.
Inoltre, la nuova funzione "Monte Carlo" veniva tratta in errore da oggetti in orbita attorno a pianeti (satelliti naturali o artificiali). Questo errore è stato corretto.
(10 Feb 2003) Il programma Find_Orb è ora in grado di valutare le zone di incertezza di una effemeride, usando il metodo di Monte Carlo osservazionale.
(10 Feb 2003) Il programma Find_Orb è ora in grado di generare una pagina "pseudo-MPEC".HTML, che somiglia vagamente a quelle prodotte dal "Minor Planet Center".
(4 Nov 2001) Come impostazione predefinita, il programma Find_Orb calcola ancora le posizioni planetarie usando gli sviluppi in serie PS-1996 e ELP. Tuttavia è ora possibile usare le effemeridi JPL DE; queste sono le effemeridi fondamentali da cui sono state derivate le approssimazioni costituite dagli sviluppi in serie PS-1996, ELP e VSOP. L'uso delle DE è leggermente più preciso (anche se molti utenti non si accorgeranno della differenza) e un po' più veloce (talvolta è molto più veloce, specialmente con archi di orbita molto lunghi, i quali richiedono calcoli laboriosi).
Si possono avere qui delle informazioni circa le effemeridi JPL DE, ed inoltre si può sapere qui come acquistare o scaricare (gratuitamete) i dati DE. (Si può anche trovare un file DE sul secondo CD-ROM di Guide 8.0). Una volta che abbiate scaricato tali dati, avrete dei file con estensioni '.200', '.405', oppure '.406' (corrispondenti alle effemeridi DE-200, DE-405, oppure DE-406). Supponiamo che il file si trovi sul vostro CD-ROM ed abbia un nome del tipo d:\unix.405. Per richiedere che il programma Find_Orb faccia uso di tale file, occorre modificare il file ENVIRON.DAT aggiungendovi la riga
JPL_FILENAME=d:\unix.405
Nota: Gli utenti di Linux dovranno invece (oppure oltre alla riga sopra riportata) aggiungere qualcosa del tipo:
LINUX_JPL_FILENAME=/cdrom/unix.405
L'unica grande differenza che si potrà notare sarà per lo più una maggiore velocità. Tra l'altro, se nella determinazione dell'orbita, ci si venisse a trovare in un intervallo temporale al di fuori di quello corrispondente al file DE che è stato fornito al programma, Find_Orb automaticamente tornerà alle soluzioni PS-1996 e ELP.
Inoltre, a seguito di alcune segnalazioni da parte di Pertti Pääkkönen, ho risolto la maggior parte dei problemi che si presentavano quando si cercava di fare funzionare il programma sotto Linux.
(26 Apr 2001) Vi è ora un modo per ottenere orbite vincolate , in cui è possibile specificare valori fissi per eccentricità, e/o semiasse maggiore, periodo orbitale, inclinazione, ecc.
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(28 Mar 2001) Esiste una grande quantità di aggiornamenti, alcuni dei quali erano già presenti da tempo, ma senza essere documentati. Alcuni però sono effettivamente delle novità:
(1 Gen 2000) Due utenti hanno fatto presente che FIND_ORB non funziona bene con oggetti le cui osservazioni stanno a cavallo della data 1 Gen 2000 0:00 TU. Le osservazioni dopo tale data vengono mostrate, nella casella dei residui, prima anziché dopo le osservazioni relative agli anni del '900. Questo inconveniente è stato ora corretto. Si trattava di evitare che Windows mettesse in ordine di tempo i residui, per cui non è stato necessario fare alcuna modifica nel codice sorgente presente su questo sito Web.
Che cos'è FIND_ORB?
FIND_ORB può ricevere come dati di ingresso una serie di osservazioni relative a un asteroide o a una cometa, nel formato MPC (Minor Planet Center), oppure nei formati NEOIBO o AstDyS e calcolare quindi gli elementi orbitali. Il formato MPC è uno "standard", usato dalla maggior parte dei programmi di astrometria, incluso Charon. E' possibile fare clic qui per avere maggiori informazioni sul formato MPC.
Il programma Find_Orb è in grado di determinare l'orbita di satelliti artificiali della Terra, nonché di satelliti di altri pianeti. Ne esiste una versione per Windows a 16 bit e una versione per Windows a 32 bit. L'unica differenza tra le due versioni del programma è che la versione a 32 bit è notevolmente più veloce. Nei paragrafi seguenti, il programma verrà indicato semplicemente con "FIND_ORB" senza fare distinzione tra le due versioni.
Attenzione! La versione a 16 bit non è stata più aggiornata dalla metà del 2001. Non avrei nessuna obiezione a mantenerla, ma il compilatore Visual C/C++ 1.0 non funziona più con le versioni recenti di Windows, per cui non mi è stato più possibile ricompilare i file sorgente.
Fare clic qui per scaricare la versione a 16 bit (circa 223 KByte).Fare clic qui per scaricare la versione a 32 bit (circa 402 KByte).
Fare clic qui per scaricare il codice sorgente C/C++ (circa 300 KByte).FIND_ORB è un programma di facile uso che inizialmente determina un'orbita preliminare usando il metodo di Herget. Se si dispone di ulteriori osservazioni, con tutti i dati disponibili si può trovare la "migliore" orbita, usando il metodo dei minimi quadrati. Il programma è abbastanza sofisticato da includere gli effetti perturbatori dei pianeti e della Luna, quelli dei quattro satelliti maggiori di Giove, di alcuni dei satelliti di Saturno, e dei tre maggiori asteroidi.
Perché esiste FIND_ORB?
FIND_ORB è diretto ad alcune limitate categorie di persone. La maggior parte delle persone misureranno la posizione di un oggetto per varie notti, usando un rivelatore CCD e un programma come Charon, e invieranno i risultati delle osservazioni, mediante la posta elettronica, al Minor Planet Center (MPC). Il MPC accumulerà tutte le osservazioni, e quindi distribuirà l'orbita risultante e le effemeridi tramite le Circolari dell'UAI e le MPEC.
Vi sono però tre gruppi di persone che vorranno usare il programma FIND_ORB. Primo, vi sono delle rare persone alla ricerca degli asteroidi che passano vicino alla Terra (oggetti NEA, dall'inglese "Near-Earth Asteroids", cioè "Asteroidi che passano vicino alla Terra"), le quali hanno la necessità di ottenere gli elementi orbitali aggiornati quasi immediatamente, appena dopo aver finito di effettuare le osservazioni. Poiché gli oggetti NEA hanno la tendenza a comparire e poi a sparire quasi subito, è opportuno che l'osservatore possa fare una verifica immediata degli elementi orbitali. Il programma FIND_ORB lo consente.
Secondo, personalmente ho usato FIND_ORB per verificare la qualità delle osservazioni astrometriche. Se qualcuno misura un asteroide varie volte usando Charon, ed io inserisco i risultati nel programma FIND_ORB e vedo che le varie posizioni si allineano bene su un'orbita con residui dell'ordine di un secondo d'arco, comincio a ritenere molto buona la qualità delle sue misurazioni astrometriche. Pertanto chi effettua misure astrometriche può avere interesse in questo programma.
Terzo, qualche Mente Curiosa può essere talvolta affascinata dalla "magia nera" con cui si trasformano i dati astrometrici in elementi orbitali. Questa è stata la mia ragione principale per scrivere il programma FIND_ORB. (Ed è risultato anche utile a scopi accademici; talvolta sento di studenti che usano FIND_ORB come parte del loro corso di studi).
Vi è ancora una quarta ragione, legata alla mia attività di venditore di programmi astronomici. Ho trovato una serie di dati osservativi relativamente a quattro dei satelliti esterni di Giove (J-6, 7, 8, e 9), e ho voluto usarli per derivare una teoria che descriva il loro moto. Il loro moto, infatti, è piuttosto bizzarro: due di questi satelliti hanno orbite con moto retrogrado. Come verrà descritto più avanti, FIND_ORB è in grado di calcolare tali orbite; sono riuscito a trovare delle buone soluzioni per tutti i satelliti irregolari di Giove (e, più recentemente, per tutti gli altri satelliti irregolari nel sistema solare, inclusi i nuovi satelliti irregolari di Saturno e di Urano e Giove. Sono riuscito perfino a ricavare le orbite dei satelliti Galileiani e di alcuni dei satelliti più interni di Saturno e di Urano, ma questo vuol dire spingere il programma al limite delle sue possibilità. Gli elementi orbitali così ottenuti "funzionano", ma non sono particolarmente buoni).
Restrizioni sull'uso
FIND_ORB è un programma gratuito. Il suo uso connesso con programmi a pagamento è espressamente proibito senza un permesso scritto da parte di Project Pluto:
Project Pluto 168 Ridge Road Bowdoinham ME 04008 (UNITED STATES) tel (207) 666 5750 pluto@projectpluto.com http://www.projectpluto.comMa, a parte tali usi commerciali... usatelo pure liberamente. (Se usate il programma per qualcosa di veramente interessante, per favore fatemelo sapere!)
Altri programmi per la determinazione delle orbite
Forse il programma più usato, disponibile pubblicamente, comparabile con Find_Orb, che consenta di includere oggetti perturbatori, e di calcolare sia un'orbita iniziale che un'orbita completa utilizzando tutte le osservazioni con il metodo dei minimi quadrati, è il programma OrbFit. E' anch'esso gratuito (con restrizioni simili a quelle di Find_Orb). E' stato messo a punto da una mezza dozzina di astronomi professionisti, e può funzionare sotto Windows 95/98/NT e sotto Unix. E' anche disponibile il codice sorgente in FORTRAN. (Si può fare clic qui per avere informazioni sul codice sorgente in C/C++ di Find_Orb).
Il programma OrbFit include anche delle funzionalità piuttosto avanzate, come l'individuazione dei corretti elementi orbitali, la valutazione della probabilità d'impatto, l'uso di osservazioni radar, il calcolo degli errori per quasi tutti i parametri, ecc. Per molti aspetti è molto più sofisticato di Find_Orb.
Pasquale Tricarico mi ha informato dello sviluppo del Progetto ORSA (Orbit Reconstruction, Simulation and Analysis). Questo programma fornirà un nucleo centrale di dati e un insieme di strumenti per la determinazione delle orbite.
Jim Baer mi ha scritto per segnalarmi il suo programma CODES pubblicato di recente (http://home.earthlink.net/~jimbaer1/), che "effettua la determinazione dell'orbita iniziale, e poi, con il metodo dei minimi quadrati, dell'orbita completa di comete ed asteroidi, l'analisi di collisione, il calcolo delle effemeridi, e l'identificazione degli oggetti. Il programma CODES utilizza la meccanica integrata a n corpi, e tiene conto dell'emissione di gas e polveri da parte delle comete (se disponibile) e delle perturbazioni gravitazionali (includendovi gli effetti relativistici) da parte del Sole, dei nove pianeti, della Luna e di quasi 300 asteroidi." Vi sono anche delle funzionalità per quanto riguarda il calcolo delle matrici di covarianza e dei valori di sigma, che non sono (per il momento) presenti in Find_Orb.
Nel programma CCD Astrometry di John Rogers vi è una sezione per la determinazione delle orbite, che include la possibilità di valutare l'incertezza delle effemeridi con il metodo di Monte Carlo.
Se siete a conoscenza di altri programmi per la determinazione delle orbite, non menzionati qui, per piacere mandatemi un messaggio di posta elettronica.
Dove ottenere dati osservativi da inserire in FIND_ORB?
Idealmente, basterebbe avere un rivelatore CCD e aver scaricato il programma Charon (un programma di astrometria che funziona associato a Guide), raccogliere poi immagini e posizioni per qualche asteroide, e riferire questi dati al Minor Planet Center. Può essere però anche utile inserire tali dati osservativi nel programma FIND_ORB.
All'inizio del mio lavoro, ho collaudato FIND_ORB usando le osservazioni riportate nelle Circolari Elettroniche del Minor Planet (MPEC). I dati osservativi sono riportati naturalmente nel formato MPC, e pertanto possono essere inseriti direttamente nel programma FIND_ORB, senza neppure preoccuparsi di eliminare le righe di testo che si trovano nella Circolare: FIND_ORB riconoscerà quali sono le righe che contengono i dati osservativi e quali sono le righe che contengono altre informazioni.
Inoltre è possibile ottenere dati osservativi per la maggior parte degli asteroidi da NEODyS e AstDyS, nel loro formato .rwo.
Un file contenente "osservazioni" relative a due asteroidi totalmente immaginari, ad un satellite (reale) di Giove, e osservazioni simulate della stazione spaziale Mir viene fornito insieme al programma FIND_ORB. I casi dei due asteroidi hanno uno scopo pratico: ci si assicura di avere due casi "noti" ben funzionanti prima di tentare con le proprie osservazioni.
Come avviare FIND_ORB
Occorre prima scaricare la versione a 16 bit o quella a 32 bit di FIND_ORB da questa pagina, copiarla nella stessa cartella di Guide, e poi decomprimerla con il programma WinZip. Installato sotto Windows, il programma sarà riconoscibile da una icona molto semplificata, che mostra un sole giallo, attorno a cui ruota un oggetto.
Avviando il programma, comparirà una grande finestra di dialogo. Vi è un bottone "Apri..." (nella versione inglese "Open...") nell'angolo in alto a sinistra; si può fare clic su di esso e poi selezionare la voce EXAMPLE nella casella di dialogo per la scelta del file.
Appena al di sotto del bottone "Apri..." comparirà una piccola lista che mostra tutti gli oggetti che FIND_ORB ha trovato nel file selezionato. Nel caso di questo file di esempio ("Example"), verranno trovati i dati osservativi per due oggetti immaginari, 1996 XX1 e 1997 ZZ99, e per la stazione spaziale Mir.
Come usare FIND_ORB con l'esempio dell'asteroide 1996 XX1
Inizieremo con l'esempio più facile. Se si fa doppio clic su 1996XX1, il programma FIND_ORB mostrerà la seguente orbita iniziale "valutata per congettura":
Elementi orbitali: 1996XX1 Perihelion 1999 Feb 8.918184 TT Epoch 1997 Oct 19.0 TT = JDT 2450740.5 M 300.33066 (2000.0) P Q n 0.12485262 Peri. 130.62360 -0.60575101 -0.79565388 a 3.9646448 Node 3.34098 -0.73398916 0.55918290 e 0.6876843 Incl. 179.23131 -0.30712477 0.23291497 P 7.89 H 11.0 G 0.15 q 1.2382209 >From 13 observations 1997 Oct. 12-22; RMS error 15.624 arcseconds
Come si può vedere, FIND_ORB fa una "congettura" iniziale per l'orbita... una congettura che, in questo caso, comporta degli errori residui di notevole entità. Questo metodo "congetturale" consiste nell'ipotizzare un gran numero di distanze dell'oggetto dalla Terra, negli istanti della prima e dell'ultima osservazione, esaminare l'orbita che ne risulta, e scegliere quella con i residui più bassi. Questa ipotesi iniziale non è molto buona, ma, come si potrà vedere, FIND_ORB è in grado poi di recuperare egregiamente.
In effetti, Find_Orb può risolvere automaticamente il problema e trovare l'orbita corretta per l'oggetto in questione. Tuttavia è probabilmente un buon metodo tentare di risolvere il problema un po' per volta, per farsi un'idea del procedimento, vedere quando l'algoritmo non funziona e capire che cosa fare in tali casi.
Per seguire questa procedura, occorre fare clic sul bottone " Passo di Herget" (nella versione inglese "Herget step") e FIND_ORB riaggiusterà i valori, usando l'orbita corrente come punto di partenza per una nuova e migliore congettura. In questo caso, FIND_ORB vedrà che le sue stime iniziali per la distanza erano un po' lontane dal vero, e inizierà a portare rapidamente questi valori (i parametri "R1" e "R2") più vicini a una situazione realistica. Facendo clic su "Herget" alcune volte, l'errore RMS raggiungerà un minimo, e si otterrà la seguente orbita, molto migliore:
Elementi orbitali: 1996XX1 Perihelion 1998 Mar 7.584522 TT Epoch 1997 Oct 19.0 TT = JDT 2450740.5 M 324.20638 (2000.0) P Q n 0.25642974 Peri. 71.49358 -0.49283426 -0.87012128 a 2.4537132 Node 48.03360 0.79739197 -0.45247962 e 0.5725083 Incl. 0.14090 0.34825340 -0.19532318 P 3.84 H 15.5 G 0.15 q 1.0489421 >From 13 observations 1997 Oct. 12-22; RMS error 0.556 arcseconds
(Se vi abbonate alle pubblicazioni elettroniche del MPC, noterete che ho modificato la presentazione standard degli elementi orbitali del MPC, così da mostrare sempre l'errore RMS, la distanza del perielio e il tempo. A parte queste piccole modifiche, tutto il resto vi dovrebbe apparire familiare).
Una volta che FIND_ORB "si è agganciato" ad una buona soluzione con il metodo di Herget, l'errore RMS raggiunge rapidamente un minimo, e si ottiene un'orbita discretamente buona. Tuttavia, FIND_ORB sta ancora usando una soluzione semplificata, basata su un'orbita iniziale; in genere questo fa sì che vi siano ancora dei residui abbastanza pesanti. Ora che si è ottenuta una soluzione decente, si può fare clic sul bottone "Passo completo", con cui il programma effettuerà il calcolo completo con il metodo dei minimi quadrati.
Se si fa clic sul bottone "Passo completo" un altro po' di volte, FIND_ORB mostrerà questa orbita:
Elementi orbitali: 1996XX1 Perihelion 1998 Mar 8.978766 TT Epoch 1997 Oct 19.0 TT = JDT 2450740.5 M 323.87895 (2000.0) P Q n 0.25621625 Peri. 72.47995 -0.50284772 -0.86437305 a 2.4550760 Node 47.70878 0.79209900 -0.46165517 e 0.5741800 Incl. 0.14298 0.34601061 -0.19933324 P 3.85 H 15.5 G 0.15 q 1.0454204 >From 13 observations 1997 Oct. 12-22; RMS error 0.483 arcseconds
Si è ottenuto un leggero miglioramento... talvolta il miglioramento è meno ovvio (specialmente se i dati della prima o dell'ultima osservazione hanno qualche problema). Il risultato finale mostra che questo "asteroide" ha un'orbita molto eccentrica con un perielio (q) appena oltre l'orbita terrestre, e la sua orbita si trova quasi esattamente nel piano della nostra orbita (l'inclinazione è di appena 0.14 gradi). Tutto questo significa che ogni 3.85 anni questo oggetto può arrivare molto vicino alla Terra. La distanza del perielio, tuttavia, è maggiore di 1.03 UA, il che vuol dire che anche al suo massimo avvicinamento alla Terra, questo oggetto non arriverà mai più vicino di 0.015 UA, pari a circa 2 milioni di Km, cioè cinque volte più lontano della Luna... non c'è quindi pericolo imminente di collisione.
Per quasi ogni asteroide che venga esaminato, il problema somiglierà più o meno al caso visto sopra. Verrà trovata una soluzione accettabile.
Come usare FIND_ORB con l'esempio dell'asteroide 1997 ZZ99
Il secondo "esempio" di un asteroide, 1997 ZZ99, è molto simile, ma dà qualche problema al sistema.
Facendo doppio clic su 1997 ZZ99, comparirà immediatamente la seguente struttura, piuttosto inusuale, di un'orbita.
Elementi orbitali: 1997ZZ99 Perihelion 1997 Apr 21.882340 TT Epoch 1997 Apr 22.0 TT = JDT 2450560.5 M 0.10777 (2000.0) P Q n 0.91592445 Peri. 4.13118 -0.84957782 0.52745469 a 1.0500975 Node 207.70312 -0.48412364 -0.78202610 e 0.0339971 Incl. 0.37134 -0.20938439 -0.33200411 P 1.08 H 23.2 G 0.15 q 1.0143972 >From 35 observations 1997 Apr. 21-22; RMS error 2409.984 arcseconds
Find_Orb ha posto l'oggetto su un'orbita molto simile a quella della Terra. Come vedremo, questa non è proprio corretta, ma il programma ha anche constatato un elemento importante: questo oggetto arriverà vicinissimo alla Terra.
Come nel caso precedente, ignoriamo il fatto che la congettura iniziale è orribile. Fate clic su "Herget" un po' di volte, finché gli elementi orbitali si stabilizzano; quindi ancora su " Passo completo" un altro po' di volte. Il risultato ottenuto dovrebbe somigliare a questo:
Elementi orbitali:
1997ZZ99
Perigee 1997 Apr 22.944640 TT
Epoch 1997 Apr 22.0 TT = JDT 2450560.5
q 16155.657 km (2000.0) P Q
Peri. 352.73333 0.62035305 -0.77536712
Node 315.51589 -0.71084952 -0.49214277
e 6.0333649 Incl. 9.71025 -0.33144389 -0.39572885
>From 35 observations 1997 Apr. 21-22; RMS error 17.358 arcseconds
Si può notare che FIND_ORB si è accorto che questo oggetto arriva così vicino alla Terra che un'orbita eliocentrica non ha più senso; pertanto, questo oggetto si trova su un'"orbita" geocentrica (cioè, in realtà, si tratta di un passaggio radente). Cosicché si ottiene un "perigeo" anziché un "perielio". Similmente, se si inseriscono in FIND_ORB i dati di un satellite di un altro pianeta, si otterrà un "perigiove", o un "periurano", e così via.
Inoltre, solo per elementi geocentrici, le distanze sono espresse in kilometri, anziché in UA, e gli elementi sono riferiti all'equatore J2000.0, non all'eclittica. Le ragioni di questo fatto verranno discusse quando passeremo al caso della stazione Mir. Per il momento, possiamo notare che la distanza del perigeo è molto più grande del raggio della Terra, che è di 6378 km. Anche questa volta, quindi, non saremo colpiti.
In questo esempio (escogitato molto accuratamente), l'errore RMS è ancora abbastanza grande (circa 17 secondi d'arco). Può essere utile tenere conto delle perturbazioni dovute alla presenza della Terra. Mettete il segno di spunta nella casella della Terra ("Earth" nella versione inglese) e fate clic un altro po' di volte su "Passo completo": l'errore scenderà un poco... ma non di tanto. Che cos'è che non va?
La ragione principale consiste nel fatto che questo asteroide passa anche molto vicino alla Luna! Mettete il segno di spunta anche nella casella della Luna ("Moon"), per tener conto anche delle sue perturbazioni, e fate clic di nuovo su "Passo completo" alcune volte: gli errori RMS immediatamente scenderanno sotto a un secondo d'arco:
Elementi orbitali:
1997ZZ99
Perigee 1997 Apr 22.936366 TT
Epoch 1997 Apr 22.0 TT = JDT 2450560.5
q 16258.371 km (2000.0) P Q
Peri. 350.97364 0.61620344 -0.77900525
Node 316.95265 -0.71158258 -0.48757379
e 6.2597902 Incl. 9.77985 -0.33755528 -0.39423676
>From 35 observations 1997 Apr. 21-22; RMS error 0.985 arcseconds
Normalmente le perturbazioni dovute alla Terra sono quelle più importanti; dopo tutto la Terra ha una massa 81 volte quella della Luna. Tuttavia l'oggetto 1997 ZZ99 passa vicinissimo alla Luna. Finora mi è capitato solo un caso nel mondo reale, l'oggetto 1996 JA1, in cui le perturbazioni lunari avessero una reale importanza. (Anche se, in casi in cui i dati osservativi abbracciano un periodo di diversi anni, gli effetti si accumulano fino al punto in cui le perturbazioni lunari diventano molto importanti).
Per inventarmi l'oggetto 1997 ZZ99, con un'orbita che passa molto vicina sia alla Terra che alla Luna, dapprima ho creato un file con due sole osservazioni molto vicine alla Luna. Successivamente ho inserito queste due osservazioni "di partenza" nel programma FIND_ORB, con R1 appena oltre la Luna, e R2 un po' più vicino rispetto alla Luna. Il programma ha calcolato l'orbita corrispondente, dopodiché ho generato le relative effemeridi, prendendo come località di osservazione l'Australia. Con tali effemeridi ho costruito un totale di 35 finte osservazioni.
Attivando tutti gli oggetti perturbatori in genere non si nota nessuna reale differenza, eccetto il fatto che il programma rallenta terribilmente. (Effettuare il calcolo, tenendo conto di tutti i pianeti, comporta elaborazioni matematiche molto pesanti). Per calcolare l'orbita dei satelliti irregolari di Giove, ho dovuto includere le perturbazioni di Giove (ovviamente!) e di Saturno (cosa piuttosto sorprendente) per ottenere buoni risultati. Per alcuni dei satelliti di Urano scoperti recentemente, ho dovuto includere le perturbazioni di Giove, Saturno e Nettuno per ottenere buoni risultati. Tuttavia normalmente è solo la Terra che conta, e anche in tale caso, soltanto per oggetti NEA che passino molto vicini al nostro pianeta.
Come usare FIND_ORB con S/2000 S 11, un satellite di Saturno
Una volta mi trovavo piuttosto in difficoltà nell'elaborazione delle misure astrometriche relative ai satelliti irregolari dei pianeti gassosi giganti. Per fortuna, ora non è più così. Le idee discusse più avanti sono abbastanza generali, ma sarà usato come esempio il satellite S/2000 S 11, la cui scoperta è stata annunciata il 19 Dicembre 2000.
Si può fare clic qui per scaricare i dati astrometrici di questo oggetto. Questo file è una delle Circolari Elettroniche del Minor Planet Center (indicate con MPEC), ed è quella che riporta i dati astrometrici originali della scoperta. Caricando il file nel programma Find_Orb, si ottiene un'orbita di tipo Centaur con dei residui non tanto buoni come valori predefiniti. Per trovare un'orbita "saturnocentrica", Find_Orb ha bisogno di essere un po' guidato.
La prima cosa è forse ovvia: occorre marcare la casella "Saturno" tra gli oggetti perturbatori. E' piuttosto improbabile che Find_Orb riesca a trovare un'orbita saturnocentrica se non si includono le perturbazioni di Saturno!
I dati osservativi abbracciano il periodo che va dal 9 Novembre 2000 al 17 Dicembre 2000. Consultando un programma che fornisca le effemeridi (o con il sistema Horizons del JPL), si ricava che, in quelle date, Saturno si trovava a circa 8.148 e 8.257 UA dalla Terra. Poiché un satellite naturale è sostanzialmente trascinato attorno al pianeta, si può essere abbastanza sicuri che la distanza dalla Terra di quel satellite era circa (8.148 + delta) e (8.257 + delta) UA in quelle date (assumendo che soltanto una frazione di orbita sia stata completata).
Se si dà una occhiata alle orbite dei satelliti irregolari noti di Saturno, si vedrà che esse hanno il semiasse maggiore attorno al valore di a=0.1 UA. In genere, quindi, uso come congetture iniziali i valori di Delta = -0.1 UA (nell'ipotesi che l'oggetto si trovi dalla parte del pianeta rivolto verso di noi) e Delta = 0.1 UA (nell'ipotesi che l'oggetto si trovi dall'altra parte del pianeta). Cominciamo con la prima delle due ipotesi e poniamo allora, come congettura iniziale, R1 = 8.048 e R2 = 8.157, facciamo clic sul bottone "Passo di Herget" un po' di volte, e quindi su "Passo completo" un altro po' di volte. Abbastanza rapidamente il programma si assesterà su un'orbita del tipo della seguente:
Elementi orbitali: S/2000 S 11 Perisaturn 2001 Jul 6.675722 TT Epoch 2000 Dec 2.0 TT = JDT 2451880.5 M 272.38363 (2000.0) P Q n 0.40436636 Peri. 5.58450 -0.36000669 -0.07200746 a 0.1193108 Node 110.56628 0.81289929 -0.51345927 e 0.7685389 Incl. 83.45621 0.45780992 0.85508743 P 2.44 H 11.0 G 0.15 q 0.0276158 >From 15 observations 2000 Nov. 9-Dec. 17; RMS error 0.552 arcseconds
Questa soluzione ha dei residui ragionevolmente bassi, però l'inclinazione e l'eccentricità sembrano un po' strane. In ogni caso, proviamo con l'altra ipotesi, assumendo delta = +0.1. Poniamo R1 = 8.248, R2 = 8.357, ripetiamo il procedimento con i bottoni "Passo di Herget" e "Passo completo", e otteniamo:
Elementi orbitali: S/2000 S 11 Perisaturn 2002 Apr 1.933825 TT Epoch 2001 Apr 1.0 TT = JDT 2452000.5 M 211.67402 (2000.0) P Q n 0.40533552 Peri. 73.30298 -0.83559992 0.05564627 a 0.1191205 Node 107.06023 -0.17734258 -0.96891430 e 0.3806275 Incl. 34.86662 0.51992536 -0.24105718 P 2.43 H 10.9 G 0.15 q 0.0737800 >From 15 observations 2000 Nov. 9-Dec. 17; RMS error 0.474 arcseconds
Se si dà un'occhiata al file contenente i dati osservativi che è stato scaricato, si può vedere che questa soluzione è sostanzialmente quella pubblicata dal MPC.
Questo caso di una "doppia soluzione" è abbastanza ricorrente. Se si effettuano ulteriori osservazioni, in genere una delle due soluzioni risulta da scartare poiché gli errori RMS cominciano a diventare molto grandi. In questo caso del satellite di Saturno, mi trovo d'accordo con tutti nel ritenere che la seconda soluzione è quella più probabile, non perché presenta gli errori più bassi, ma perché la prima orbita è troppo diversa dalle orbite degli altri satelliti.
Nella maggior parte dei casi, con questo procedimento si ottiene un'orbita. In qualche caso, occorre "giocare" un poco con il valore di delta. C'è però qualche occasione in cui si ottengono soluzioni che divergono, con valori assurdi per l'eccentricità e per i residui. Per queste situazioni ho messo a punto degli algoritmi abbastanza particolari per venirne a capo.
Come usare FIND_ORB con i dati astrometrici (simulati) della stazione spaziale Mir
E' possibile, anche se non è di particolare utilità, usare FIND_ORB per determinare l'orbita di un satellite artificiale della Terra. Purtroppo non possiedo dei dati sperimentali per collaudare il programma, per cui ho generato un esempio. Per ottenerlo, ho avviato il programma Guide, ho impostato latitudine e longitudine corrispondenti a una stazione osservativa del MPC, e ho generato delle effemeridi per i passaggi della stazione spaziale Mir. Se si avvia FIND_ORB, si apre il file "EXAMPLE", e si fa doppio clic su "Mir", vengono caricate le osservazioni simulate in questione.
Anche in questo caso dei buoni valori iniziali per R1 e R2 sono molto importanti. La congettura predefinita di 1 UA non ha ovviamente alcun senso per un oggetto in orbita attorno alla Terra. Impostiamola quindi al valore di 0.00001 UA. Questo valore (in Unità Astronomiche) corrisponde a circa 1500 km, che è una buona distanza per un'orbita "bassa" attorno alla Terra.
Dopo aver messo il segno di spunta nella casella "Terra" (nella versione inglese "Earth") per tener conto delle perturbazioni da parte della Terra, occorre fare clic un po' di volte sul bottone relativo al passo di Herget. Il programma converge rapidamente su questi valori:
Elementi orbitali: Mir Perigee 1998 Jun 20.810218 TT Epoch 1998 Jun 20.8 TT = JDT 2450985.3 M 171.29447 (2000.0) P Q n5660.54255256 Peri. 132.79498 -0.81371242 -0.44835486 a 6720.118 km Node 28.13785 -0.15470880 -0.44641400 e 0.0057829 Incl. 51.66791 0.56030106 -0.77439813 P 91.58m H 24.2 G 0.15 q 6681.256 km >From 10 observations 1998 Jun. 20-20; RMS error 158.892 arcseconds
L'errore RMS è effettivamente enorme. La ragione di tale valore verrà illustrata più avanti. Si può notare che il periodo di 91 minuti è un valore ragionevole per un oggetto in orbita bassa attorno alla Terra. La distanza al suo perigeo ancora impedisce alla stazione Mir di precipitare sulla Terra (ricordando che il raggio terrestre all'equatore è di 6378 km).
Prima di fare clic sul bottone "Passo completo", suggerirei di effettuare una manovra un po' inusuale. Come impostazione predefinita, quando si fa clic su "Passo completo", il programma FIND_ORB porta il valore dell'epoca all'indietro fino al 16.0 Giugno. Il problema è che tentando di estrapolare questo breve arco di tempo osservativo all'indietro di circa cinque giorni (circa 700 volte la sua lunghezza) si genera una situazione di instabilità; occorre un'epoca più vicina ai tempi di osservazione. Pertanto re-impostiamo l'epoca al valore 2450985.34 (GG). Questo valore corrisponde all'istante centrale del gruppo di osservazioni, e renderà il procedimento piuttosto stabile.
Dopo aver effettuato queste operazioni, facendo clic un po' di volte su "Passo completo" si ottiene questa orbita:
Elementi orbitali: Mir Perigee 1998 Jun 20.810114 TT Epoch 1998 Jun 20.8 TT = JDT 2450985.3 M 168.93682 (2000.0) P Q n5652.74897459 Peri. 132.46347 -0.81106791 -0.45313414 a 6726.294 km Node 28.13381 -0.15214408 -0.44720528 e 0.0048460 Incl. 51.67437 0.56481946 -0.77115296 P 91.71m H 24.2 G 0.15 q 6693.698 km >From 10 observations 1998 Jun. 20-20; RMS error 39.292 arcseconds
Con un arco di osservazioni più lungo, oppure con un satellite su un'orbita più alta, gli effetti di perturbazione da parte della Luna si farebbero sentire. Ma in questo caso, se si marca la casella "Luna" (nella versione inglese "Moon") tra gli oggetti perturbatori, e poi si fa ancora clic un po' di volte su "Passo completo", non si noterà praticamente nessuna differenza.
La ragione per quei valori così grandi dei residui è molto semplice. Il formato MPC consente una precisione massima nel dato temporale pari a 0.0864 secondi = 10-6 giorni. In questo apparentemente brevissimo intervallo di tempo, la stazione Mir si sposta di circa 700 metri. Poiché l'oggetto si trova a una distanza di 1000 km (e per alcune di queste osservazioni, la distanza è anche molto minore), 700 metri corrispondono a 140 secondi d'arco. Finché FIND_ORB non sarà in grado di accettare i dati in un formato diverso da quello MPC, il problema resterà presente.
L'opzione "Soluzione automatica"
Idealmente, sarebbe comodo se fosse possibile inserire nel programma un gruppo di dati osservativi, mettersi a sedere, e osservare mentre Find_Orb trova la soluzione per l'orbita. Questo non è ancora possibile, però il bottone "Soluz. Autom." (nella versione inglese "Auto-Solve") può fare una cosa del genere nella maggior parte dei casi.
Si tratta, dopo aver caricato i dati osservativi con il bottone "Apri...", di fare clic sul bottone "Soluz. Autom.". Si vedrà un po' di sfarfallio mentre l'algoritmo automatico tenta varie soluzioni e poi converge (si spera) verso un'orbita corretta. Alla fine l'icona della clessidra scompare e il puntatore del mouse riprende la sua forma consueta. L'operazione è completata.
Questo procedimento funziona quasi sempre, per oggetti "normali". Oggetti NEA (che passano vicino alla Terra) talvolta danno luogo a problemi, specialmente se risulta che l'oggetto ha una traiettoria in avvicinamento o in allontanamento puntata esattamente verso di noi. Anche per i satelliti, sia naturali che artificiali, in genere questo procedimento non funziona. (Sto lavorando per cercare di eliminare queste limitazioni). Comunque vale sempre la pena fare un tentativo; talvolta sono rimasto sorpreso nel constatare che il procedimento era riuscito a trovare un'orbita con congetture iniziali così stupide che non mi sarei mai aspettato di avere successo.
Come trovare le orbite del tipo Väisälä
Quando si ha un arco di osservazioni molto corto (per esempio, un oggetto appena scoperto che è stato osservato solo durante la settimana corsa, o cose del genere), l'orbita è così scarsamente definita che né voi né Find_Orb avete un'idea di quanto è realmente lontano l'oggetto. In tali casi, usando i bottoni "Passo di Herget" o "Passo completo" la ricerca dell'orbita potrebbe divergere, portando a valori assurdi.
Ciò nonostante, vi può essere la necessità di ottenere una qualche orbita, per cercare di prevedere dove l'oggetto potrebbe trovarsi nelle notti seguenti. Il modo più comune di procedere è quello di usare un'orbita di Väisälä, in cui si assume che l'oggetto si trovi vicino al perielio, e poi fare una congettura sulla distanza del perielio. Con il programma Find_Orb, questa procedura si ottiene inserendo il valore ipotetico della distanza del perielio nella casella di testo R1 e facendo poi clic sul bottone "Väisälä". R2 viene ignorato.
Il calcolo "classico" di un'orbita di Väisälä usa soltanto due osservazioni (in genere la prima e l'ultima) e ignora tutte le altre. Il metodo usato nel programma Guide utilizza più di due osservazioni, sfruttando le altre per minimizzare gli errori. Non è necessario sapere come e perché l'algoritmo funziona, tuttavia chi è interessato può fare clic qui per consultare i dettagli matematici.
Determinazione di un'orbita con il metodo di Gauss
Il metodo di Gauss è uno dei metodi più usati per la determinazione di un'orbita iniziale. E' stato usato in un'occasione rimasta famosa, quando il primo asteroide, (1) Cerere, fu scoperto poco prima della sua congiunzione con il Sole: Gauss fu in grado di determinare la sua orbita in modo sufficientemente accurato da permetterne il ritrovamento quando l'asteroide uscì da dietro il Sole.
Il metodo è descritto in Methods of Orbit Determination for the Micro Computer e in Fundamentals of Celestial Mechanics. Il metodo di Gauss è stato successivamente raffinato e perfezionato da uno stuolo di matematici, e quindi lo si ritrova in una infinità di versioni; personalmente, ho scelto la versione descritta nel primo dei due testi citati.
Il metodo di Gauss funziona con tre osservazioni. Se si fa clic sul bottone "Gauss" nel programma Find_Orb, verranno usate la prima e l'ultima delle osservazioni dell'arco di orbita, tra quelle che non siano state escluse, oltre a quell'osservazione che si trovi più vicina (sempre tra quelle non escluse) al punto mediano tra le due estreme. L'orbita risultante si adatterà a queste tre osservazioni con dei residui prossimi a zero, e le altre osservazioni avranno residui accettabilmente piccoli.
Un avvertimento: questo metodo era perfettamente indicato nell'era precedente alla nascita degli elaboratori elettronici. Tale metodo, infatti, fornisce una buona orbita preliminare, con uno sforzo relativamente piccolo. Tuttavia, esso presenta anche alcune stranezze, alcune inerenti al metodo stesso, altre al modo con cui ho applicato il metodo:
In alcuni casi, si potranno trovare due o anche tre soluzioni con residui accettabili. Sarà possibile però scartarne una o due, poiché le soluzioni corrisponderanno ad orbite assurde, più lontane di Alpha Centauri, oppure ad oggetti a soli tre kilometri dalla Terra. Se poi tutte le soluzioni mostrate sembrano ragionevoli, tutto quello che si potrà fare sarà aspettare nuovi dati, per decidere quale sia la soluzione "giusta".
Finestra di dialogo "Impostazioni"
Facendo clic sul bottone "Impostazioni...", si può avere il controllo su vari parametri, come i vincoli sulle orbite (un argomento abbastanza vasto da richiedere un paragrafo a parte). Si può anche impostare un testo di "Riferimento". Questo testo comparirà sullo schermo, insieme agli elementi orbitali, ed anche in ogni file "pseudo-MPEC" che verrà generato. (Il "Riferimento" predefinito è Find_Orb).
E' anche possibile impostare la quantità di "rumore" usato nel metodo Monte Carlo; la quantità predefinita è di 0.5 secondi d'arco. Inoltre, può essere impostata la soglia usata nella funzione di filtraggio delle osservazioni, come pure la precisione usata per gli elementi orbitali. Il valore predefinito è 5, cioè gli elementi angolari sono mostrati con cinque cifre; le altre quantità avranno la loro precisione impostata di conseguenza. Questo valore può essere impostato a un numero di cifre compreso tra 1 e 10.
Vi è anche una casella di controllo "Solo orbite eliocentriche", che in modalità predefinita è disattivata. Se un oggetto si trova nella "sfera d'influenza" di un pianeta (la zona in cui gli elementi orbitali osculanti, centrati nel pianeta, approssimano il moto dell'oggetto meglio degli elementi eliocentrici), il programma Find_Orb in genere opterà automaticamente per gli elementi centrati nel pianeta, anziché cercare quelli eliocentrici. Usualmente questa scelta sarà preferibile, tuttavia se occorrono veramente gli elementi eliocentrici, per qualche motivo particolare, si può fare clic sulla casella di controllo "Solo orbite eliocentriche", e verranno cercati gli elementi relativi a quel tipo di orbita.
Come ottenere orbite vincolate
Normalmente, facendo clic su "Passo completo", si ottiene una soluzione generale in cui tutti e sei gli elementi orbitali sono ottimizzati. Però, in alcune circostanze, può essere utile imporre dei "vincoli" all'orbita. Gli esempi più comuni sono quelli in cui si impone che sia e=1 (cioè un'orbita parabolica) o che l'oggetto si trovi al perielio nell'istante dell'osservazione (è il caso di un'orbita del tipo Väisälä .)
E' possibile usare Find_Orb per specificare vincoli molto più generali. Per esempio, supponiamo di avere inserito in Find_Orb i dati osservativi per un certo oggetto e di aver trovato il valore a=4.5 per il semiasse maggiore. Chi ha familiarità con i gruppi degli asteroidi, sa che tale valore potrebbe anche essere valido, ma è molto improbabile. E' molto più probabile, invece, che l'oggetto sia del tipo Hilda (il gruppo più prossimo dalla parte del sole, per il quale il valore a=4.2 rappresenta il bordo più esterno) oppure un oggetto del tipo dei Troiani di Giove (il gruppo più prossimo dalla parte opposta del sole, per il quale il valore a=5.05 rappresenta il bordo più interno).
Si può valutare la prima possibilità facendo clic sul bottone "Impostazioni...". Digitate "a=4.2" nella casella di testo "Vincoli", fate clic su "OK", e poi fate clic su "Passo completo". Find_Orb cercherà un'orbita con quel valore del semiasse maggiore. Potrebbe essere necessario fare clic su "Passo completo" parecchie volte prima che il programma converga verso una soluzione con a=4.2, e, quando questo avvenga, potrebbe succedere che si ottenga un errore RMS con un valore inaccettabilmente grande. In tal caso, la possibilità che l'oggetto sia del tipo Hilda dovrà essere scartata.
Similmente, si può impostare in quella casella di testo "a=5.05" e vedere se con questo valore il programma converge, per valutare se la possibilità di un'orbita del tipo degli asteroidi Troiani di Giove debba essere confermata o scartata.
Si possono anche imporre dei vincoli sull'eccentricità, sulla distanza del perielio, sul periodo orbitale, sull'inclinazione, oppure si possono combinare più vincoli, come negli esempi seguenti:
e=.3 (eccentricità vincolata al valore 0.3)
e=0 (si è imposta un'orbita circolare)
q=1 (si è imposta un'orbita con il perielio che sfiora l'orbita terrestre)
i=15 (si è imposta una inclinazione di 15 gradi)
P=248 (si è imposto un periodo orbitale di 248 anni, che è quello di un
oggetto del tipo Plutino)
a=5.1,e=0 (si sono combinati i vincoli di un semiasse maggiore di 5.1 UA e
di un'orbita circolare)
In genere, quando si ha un arco di osservazioni molto corto (oppure l'oggetto è molto lontano), si potrà vedere che, imponendo strani vincoli, non è detto che l' errore RMS aumenti molto. Questo significa semplicemente che l'intervallo dei valori possibili per ciascun parametro è ancora molto ampio. Quando si siano raccolti maggiori dati astrometrici, tale intervallo si restringerà sensibilmente, e questo significa che i parametri saranno determinati meglio che in precedenza. (Se si tenta di imporre un'orbita troppo lontana dall'intervallo di validità dei parametri, Find_Orb spesso non riesce a convergere verso una soluzione).
Come filtrare le osservazioni
Se si fa clic sul bottone "Filtra oss.", il programma Find_Orb automaticamente escluderà quei dati osservativi, per i quali i residui totali siano peggiori di un secondo d'arco, e, sempre automaticamente, includerà quelli per i quali i residui totali siano migliori di un secondo d'arco. Se questo filtraggio non produce nessun cambiamento, la cosa verrà segnalata. Altrimenti, verrà eseguita la modalità "Passo completo". Premendo questo bottone un po' di volte, in genere si otterrà la convergenza verso una buona soluzione, e verranno automaticamente scartati i dati non congruenti.
Qualcuno potrebbe obiettare giustamente che il limite di un secondo d'arco può essere talvolta troppo lasco (per esempio, se si ha a che fare con dati osservativi molto precisi, ottenuti da Hipparcos, oppure basati su UCAC-2, o da astrometria FASTT), e altre volte troppo stringente (per esempio, se i dati provengono da qualche raccolta, oppure si tratta di vecchi dati astrometrici basati su fotografie). Aprendo la finestra di dialogo "Impostazioni", e scegliendo l'opzione "Max Residui Filtrati", si vedrà che il valore predefinito è impostato a un secondo d'arco. Si può però re-impostare questo limite al valore desiderato.
Come risolvere le incertezze con il metodo di Monte Carlo
Finora il programma Find_Orb ha trasgredito una delle regole fondamentali della fisica: cioè ha fornito tutta una serie di valori numerici senza dare una indicazione di quanto questi valori fossero accurati. E' possibile fornire come dati di ingresso poche osservazioni effettuate nell'arco di una settimana nel 1973 e chiedere di generare delle effemeridi per la data odierna; il programma tranquillamente sfornerà tutta una serie di posizioni con una precisione di un decimo di secondo d'arco, ignorando completamente il fatto che tali posizioni non corrisponderanno neppure lontanamente alla zona di cielo corretta.
Se siete dei veri osservatori, avrete una reale necessità di sapere quanto affidabili siano le effemeridi calcolate dal programma. Se le posizioni sono valide entro pochi secondi d'arco, potreste decidere che non vi è alcuna necessità di effettuare ulteriori osservazioni dell'oggetto; la conoscenza della sua orbita sarà infatti sufficientemente buona. Se l'incertezza è di alcuni minuti d'arco, saprete che prendendo ancora una o due immagini, l'orbita sarà ben individuata. Se poi l'incertezza è molto grande, vorrete almeno sapere in quale zona di cielo andrà fatta la ricerca.
Find_Orb è ora in grado di generare dei dati che possono essere usati in grafici come questo. In tale grafico, si può vedere la regione di incertezza (che ha una struttura allungata e si sviluppa un po' a forma di banana), che appare come era al momento della prima osservazione... e quella osservazione (con il simbolo in giallo) è incorporata nella parte inferiore della "banana".
Vi sono vari metodi per valutare l'incertezza di una effemeride. Il programma CODES di Jim Baer e il sistema JPL Horizons usano entrambi il metodo della matrice di covarianza; tale metodo è molto veloce e funziona benissimo per incertezze di piccola entità. Un altro metodo comune è quello detto "Monte Carlo osservazionale", usato dal programma CCD Astrometry di John Rogers e dal programma OrbFit (OrbFit si avvale anche di vari altri metodi per il calcolo delle incertezze). Steve Chesley descrive sei diversi metodi per affrontare il problema delle incertezze in un messaggio MPML.
Attualmente, il programma Find_Orb supporta soltanto il metodo di "Monte Carlo osservazionale". In questo procedimento, si prendono le osservazioni iniziali e si aggiunge a queste un po' di "rumore" gaussiano; si ricava poi un'orbita che si adatta nel modo migliore a questi punti leggermente deteriorati. Si viene così a costruire l'orbita di un "asteroide virtuale", che corrisponde ad una possibile orbita che si adatta in modo accettabile alle vostre osservazioni. Si itera poi il procedimento.
Alla fine si otterrà uno sciame di "asteroidi virtuali" i quali, si spera, si combineranno per delimitare una regione in cui il vero asteroide possa trovarsi. Tale regione in genere inizialmente assume la forma di una ellissoide, e, quando viene riportata su una mappa del cielo, rappresenterà lo sciame di "asteroidi virtuali" come un ammasso a forma di globo schiacciato.
Al passare del tempo, lo sciame di "asteroidi virtuali" si espanderà in una certa direzione (in genere lungo la linea di variazione), e la regione di incertezza assomiglierà a una lunga linea sottile. Lungo questa linea si formeranno, nel tempo, riccioli e curve, specialmente se una parte della linea passa vicino ad un pianeta. Talvolta gli asteroidi virtuali si raggrupperanno in corrispondenza ad uno o più punti della linea, segnalando così delle zone in cui è più probabile che si trovi l'oggetto cercato.
Per usare questo metodo, nel programma Find_Orb, occorre procedere come segue. Calcolare l'orbita nel modo usuale. Impostare poi l'"epoca" a una data passabilmente vicina all'intervallo temporale entro cui si voglia valutare l'incertezza della posizione, e quindi premere il bottone "Monte Carlo".
Find_Orb farà una pausa mentre è in corso il calcolo del primo asteroide virtuale. Gli elementi orbitali ed i residui lampeggeranno, mentre verrà mostrata una orbita modificata, la quale (in genere) avrà dei residui più alti di quelli relativi all'orbita originaria. I valori continueranno a lampeggiare mentre verranno calcolati nuovi asteroidi virtuali. Sul bottone "Monte Carlo" comparirà il numero di asteroidi virtuali calcolati fino a quel momento. Se si fa clic su quel bottone, il calcolo degli asteroidi virtuali si ferma, e, facendovi clic di nuovo, il calcolo riprende. (Si può anche eseguire sul Pc qualche altro processo, mentre gli asteroidi virtuali vengono calcolati in sottofondo).
Durante il calcolo degli asteroidi virtuali, i loro elementi orbitali vengono caricati nel file mpcorb.dat. Questo file ha il formato della base dati MPCORB dell'MPC, formato che può essere letto dalla maggior parte dei programmi di simulazione planetaria.
Va ora chiarito un punto importante: si vorrà impostare la quantità di rumore gaussiano da aggiungere al calcolo con il metodo Monte Carlo. Se si fa clic sul bottone "Impostazioni...", si vedrà che c'è un'opzione per impostare il "Rumore Monte Carlo". Il valore predefinito è 0.5 secondi d'arco. Questo parametro dovrebbe essere l'oggetto di qualche discussione, ma penso che debba corrispondere all'incertezza dei dati osservativi. Cioè, se ritenete che le misure abbiano un'accuratezza di un secondo d'arco, è ragionevole usare un rumore uguale ad 1. Personalmente, avevo usato questo metodo con vecchie misure risalenti al periodo delle lastre fotografiche, aventi una accuratezza di quattro secondi d'arco, e avevo usato un rumore pari a quattro, ed avevo poi usato valori di rumore più piccoli con misure astrometriche più precise.
Usate il vostro programma di simulazione planetaria per visualizzare il file mpcorb.dat generato da Find_Orb, e vedrete una quantità di asteroidi numerati che illustreranno l'attuale zona di incertezza dell'asteroide "reale". (Ho scelto questo metodo, poiché così gli utenti potranno visualizzare la zona di incertezza tramite il loro programma preferito; diventa anche facile vedere come questa zona si modifichi nel tempo).
Infine, intendo aggiungere una "valutazione statistica della distanza" e (assumendo di avere ben compreso il concetto!) un metodo "semi-lineare" di valutazione dell'incertezza. Il primo è un metodo migliore per archi di orbita molto corti e per oggetti del tipo KBO/Centaur per i quali la distanza non è stata in realtà individuata molto bene. Il secondo metodo, almeno così spero, dovrebbe consentire un calcolo più veloce e, forse, rendere un po' più facile la rappresentazione dei risultati in forma di tabella: ogni valore riportato nell'effemeride dovrebbe essere seguito dalla valutazione dell'incertezza nella posizione e dall'angolo. Il metodo osservazionale di Monte Carlo è tuttavia ottimo per una visualizzazione grafica, ed è facile da comprendere e da usare.
Come salvare gli elementi orbitali e i residui in un file
In qualunque momento, se si vogliono salvare i risultati, basta fare clic sul bottone "Salva elementi" e viene data la possibilità di generare un file in formato testo (ASCII), che conterrà tutto quello che si trova nel riquadro "Elementi orbitali". Si può anche fare clic sul bottone "Salva Residui" e generare un file che conterrà tutti i dati presenti nella finestra con le osservazioni e i residui.
Inoltre, tutti gli elementi mostrati nella finestra di dialogo vengono anche salvati nel file elements.txt (nel formato "standard" di otto righe dell'MPC, che è il formato mostrato nella finestra), e nel formato MPC a riga singola nel file mpc_fmt.txt. Quest'ultimo formato è quello usato nel file MPCORB.DAT e in altri file simili che si trovano sul sito ftp dell'MPC e sui siti speculari di quel sito ftp.
Come impostazione predefinita, il formato del file ottenuto con "Salva Residui" è sostanzialmente quello stesso visualizzato nella finestra. Tuttavia, se si specifica l'estensione del file come .RES, allora Find_Orb capisce che si desidera il formato MPC per i residui. In questo formato abbreviato, per ogni osservazione vengono memorizzati nel file soltanto la data, il codice dell'osservatorio, e i residui, cosicché vi saranno tre righe per ogni osservazione, oltre a una breve indicazione relativa ad ogni osservatorio. Pertanto, un testo del tipo
1 3 24.30998 704 12 10 22.03 -08 50 15.1 -0.06 -0.04 0.562 1.556 1 3 24.33638 704 12 10 16.94 -08 49 50.4 -0.25 0.20 0.562 1.556 1 3 24.34986 704 12 10 14.38 -08 49 38.8 0.19 -0.72 0.562 1.556 1 3 25.19163 859 12 07 38.08 -08 36 23.3 0.30 1.86 0.565 1.560 1 3 25.19471 859 12 07 37.48 -08 36 22.1 0.07 0.18 0.566 1.560 1 3 25.40278 474 12 07 0.19 -08 33 3.6 0.05 -0.32 0.566 1.561 1 3 25.40405 474 12 06 59.96 -08 33 2.3 0.16 -0.19 0.566 1.561 1 3 25.40925 474 12 06 58.97 -08 32 57.9 -0.10 -0.58 0.566 1.561
verrà trasformato in
010324 704 .06- .04- 010325 859 .30+ 1.9+ 010325 474 .16+ .19- 010324 704 .25- .20+ 010325 859 .07+ .18+ 010325 474 .10- .58- 010324 704 .19+ .72- 010325 474 .05+ .32- Station data: (474) Mount John Observatory, Lake Tekapo (S43.9876 E170.4650) (649) Powell Observatory, Louisburg (N38.6464 W94.6997) (704) Lincoln Laboratory ETS, New Mexico (N33.8185 W106.6591) (859) Wykrota Observatory-CEAMIG (S19.8240 W43.6903) (918) Badlands Observatory, Quinn (N43.9908 W102.1306)
Come generare e salvare una effemeride
Quando si fa clic sul bottone "Effemeride..." (nella versione inglese "Make Ephemeris"), FIND_ORB presenta una piccola finestra di dialogo per poter inserire il giorno, mese e anno della data di inizio, il numero di passi, l'ampiezza del passo espressa in giorni, e la latitudine e la longitudine del luogo di osservazione (le stesse impostate nel programma Guide). Dopo aver inserito questi dati, basta fare clic su "Calcola" (in inglese "Go") e verranno generate le effemeridi all'interno di un apposito riquadro. Facendo poi clic su "Salva" si possono anche salvare i risultati in un file.
Nel calcolo delle effemeridi, FIND_ORB includerà gli effetti di tutti gli oggetti perturbatori che erano stati selezionati nella finestra di dialogo "principale".
Si può anche inserire il codice MPC dell'osservatorio, costituito da tre caratteri, nella casella della latitudine. In tal caso la longitudine verrà ignorata e la posizione impostata sarà quella corrispondente al codice MPC. Per ottenere delle effemeridi geocentriche basta semplicemente scrivere nella casella della latitudine il codice 500.
Come generare una "pseudo-MPEC"
Ogni volta che si genera una effemeride, Find_Orb costruisce un file "pseudo-MPEC" con il nome mpec.htm. Questo file ha lo stesso aspetto delle circolari MPEC standard del "Minor Planet Center", in cui compaiono la lista delle osservazioni, le stazioni che hanno fornito i dati osservativi, gli elementi orbitali e le effemeridi (dove l'intervallo temporale corrisponde a quello inserito nella finestra di dialogo "Calcola l'effemeride"). La differenza rispetto alla versione dell'MPC sta nel fatto che questo file è dotato di diversi collegamenti ipertestuali; si può fare clic su una osservazione per visualizzare i corrispondenti residui, oppure su un residuo per visualizzare il corrispondente dato osservativo, oppure fare clic sul codice MPC di tre caratteri relativo alla stazione di osservazione per scoprire di quale osservatorio si tratti, oppure ancora sulla lat/long dell'osservatorio per visualizzare una mappa con l'indicazione dell'osservatorio stesso, o (in molti casi) sul nome dell'osservatorio per raggiungere il sito Web di quell'osservatorio. Fare clic qui per vedere qualche esempio.
Viene qui offerto qualche spunto su come migliorare o personalizzare un file "pseudo-MPEC" che vogliate generare:
Come ottenere informazioni sui dati osservativi
Se si fa clic su una delle osservazioni riportate nella lista all'interno dell'apposita finestra, compariranno, appena al di sotto di tale finestra, alcune righe di testo, contenenti i dati relativi a quell'osservazione. Questo è un esempio:
Elong 165.4 Phase 7.6 RA vel -0.85'/hr decvel -0.37'/hr dT=22.96 sec
ang vel 0.93'/hr at PA 246.6 radial vel -7.813 km/sec cross 0.32
Steward Observatory, Kitt Peak-Spacewatch (N31.9580 W111.5990)
Delta= 0.9214 r= 1.9024 mag=17.40 mag (computed)=17.19 1997 Oct 16 21:53:45
J96X01X C1997 10 16.91160 00 33 19.02 +03 25 30.9 17.4 691
La prima riga riporta l'elongazione e la fase al momento dell'osservazione, seguite dalla velocità dell'oggetto in AR e declinazione. (Le velocità sono espresse in minuti d'arco all'ora, o, che è lo stesso, in secondi d'arco al minuto). E' riportato poi il "residuo in tempo", dT. Questo residuo è la differenza tra il tempo dell'osservazione calcolato e quello fornito dai dati osservativi.
Il "residuo in tempo" è molto utile se si ritiene che l'osservatore abbia un orologio difettoso. Può capitare talvolta di vedere dati osservativi di oggetti che si muovono molto velocemente (oggetti VFMO, dall'acronimo inglese Very Fast Moving Objects), con residui grandi ma coerenti. In una situazione del genere, conviene controllare i valori di dT e il valore "cross" (riportato appena sotto il valore dT). Il valore "cross" indica di quanto il percorso osservato si discosta dal percorso calcolato.
Se si ha a che fare con osservazioni, in cui i valori "cross" sono tutti residui normali (diciamo, inferiori a un secondo d'arco), ma i residui in AR e declinazione sono spropositatamente grandi, viene da sospettare che ci sia stato un errore nel misurare il tempo, e dT indicherà quanto grande sia quell'errore.
La seconda riga riporta il valore del moto apparente dell'oggetto, e l'angolo di posizione (PA), cioè la direzione in cui si sta muovendo. Si tratta in sostanza degli stessi dati "RA vel" e "dec vel", espressi in un'altra forma. Segue quindi la velocità radiale, in Km/secondo, e il residuo corrispondente allo scostamento dal percorso calcolato.
La terza riga indica il nome dell'Osservatorio, la sua latitudine e la sua longitudine. In qualche caso, prima di questi dati viene riportato un riferimento a una circolare MPEC, oppure MPC IAUC, o a un'altra pubblicazione.
La quarta riga dà la distanza Delta dell'oggetto; la distanza r tra l'oggetto e il Sole; la magnitudine osservata (che a volte può mancare); la magnitudine calcolata (che pure può mancare, se i dati osservativi dell'oggetto non la riportano); e infine il tempo dell'osservazione, espresso nella notazione "convenzionale" data/hh:mm:ss.
La quinta riga mostra i dati osservativi nel formato originale MPC da 80 byte.
Caselle di testo per l'epoca e la lunghezza del passo
Inizialmente, il programma Find_Orb imposta un'epoca "ragionevole" per l'oggetto, arrotondata a un Giorno Giuliano intero. Normalmente non è il caso di impostarla diversamente. Tuttavia, l'epoca può essere impostata a qualunque valore, digitandola nella forma anno/mese/giorno (come, per esempio "2005 4 13" per indicare il 13 Aprile 2005), oppure nella forma di Giorno Giuliano (come, per esempio "2453400.5" per indicare il GG 2453400.5 = 30 Gennaio 2005). Va tenuto anche presente che, se non è stato selezionato nessun oggetto perturbatore (cioè tutte le relative caselle non sono state marcate) la scelta dell'epoca è irrilevante.
La rimanente casella di testo è indicata con "Passo di:" ed è in genere irrilevante. Essa fornisce un controllo sul passo usato nell'integrazione numerica, e il suo valore predefinito è di 3 giorni. Può capitare che sia necessario ridurre il valore del passo, per asteroidi che passano molto vicini alla Terra, poiché in 3 giorni l'oggetto potrebbe finire completamente lontano dalla Terra. Nel caso della stazione spaziale Mir, se si va al di fuori dell'intervallo temporale dei dati osservativi, potrebbe essere necessario usare un passo di 0.001 giorni (86 secondi); dopo tutto, la stazione Mir compie circa 40 orbite attorno alla Terra in tre giorni! Tuttavia, per la maggior parte degli asteroidi, ho verificato che si può aumentare il passo a cinque e anche a dieci giorni, senza gravi conseguenze.
Quando FIND_ORB non trova un'orbita
Negli esempi visti precedentemente, FIND_ORB converge (alla fine) verso una soluzione. Questo però non succede sempre, ed è questo il motivo per cui il programma non è (ancora) in grado di leggere un file con i dati osservativi del MPC e sputare fuori un'orbita, senza nessun intervento da parte dell'utente. Talvolta il programma si aggrappa a una soluzione che comporta un'orbita attorno ad Alfa Centauri ad una velocità fantascientifica. Altre volte il metodo di Herget collassa su valori R1=R2=0 (cioè, l'oggetto galleggia proprio davanti al telescopio).
Un modo per evitare tutto questo è di fornire a FIND_ORB un punto di partenza migliore per quanto riguarda l'effettiva distanza dell'oggetto. Ciò può essere ottenuto impostando R1 e R2 a valori basati su una buona congettura, e poi facendo clic su "Herget" un po' di volte. Come si è visto, questa procedura è assolutamente essenziale nei casi di S/2000 S 11 e Mir.
Inoltre, nel caso di alcune comete, ho trovato utile restringere la ricerca di una soluzione verso un tipo di orbita cometaria. Se si è arrivati vicini a una 'soluzione completa' e l'eccentricità è piuttosto vicina a 1, si può provare a premere il bottone "Impostazioni...", digitare "e=1" nella casella "Vincoli", e tentare di effettuare qualche altra iterazione. Si vedrà probabilmente che i residui non cambieranno di molto. (Questo è molto importante quando si ha a che fare con orbite di comete del tipo SOHO, che passano radenti vicino al sole. In tali casi, il programma è costretto a faticare parecchio!).
Per oggetti non-cometari, l'uso di altri vincoli sulle orbite può essere utile. Si può provare, per esempio, ad impostare l'eccentricità e/o la distanza del perielio a valori che sembrino probabili; se il procedimento funziona, si può allora tentare con altri valori vicini a quelli impostati, per vedere se i residui diminuiscono.
A volte, se sono disponibili soltanto poche osservazioni, si possono trovare delle orbite molto strane anche se i residui sono piccoli. Questo significa che l'orbita era determinata in modo insufficiente. Tuttavia, l'orbita risultante è generalmente in grado di fornire delle posizioni apparenti ancora accettabili per qualche giorno, anche se la sua struttura sembra piuttosto strana. Passati però pochi giorni, è consigliabile osservare l'oggetto di nuovo e ottenere delle altre posizioni necessarie per ottenere un'orbita più "realistica".
Non mi è ancora capitato un caso in cui il programma fallisce completamente, anche se talvolta è necessario fare un po' di tentativi di aggiustamento dei parametri per far sì che il programma si comporti bene e non generi risultati assurdi del tipo "RMS error 345184.9 secondi d'arco".
Come escludere alcune osservazioni
Abbastanza spesso può capitare che, mentre la maggior parte delle osservazioni si "adattano" all'orbita molto bene, con residui inferiori al secondo d'arco, vi sono alcune altre osservazioni con grandi residui un po' sospetti, che fanno sì che ci si domandi se quelle osservazioni non siano di cattiva qualità. In tal caso, se si fa un doppio clic sull'osservazione in questione, FIND_ORB ricalcolerà l'orbita escludendo quella osservazione. Facendo poi doppio clic di nuovo su quella osservazione si ritorna alla situazione precedente.
Per escludere o includere alternativamente un intero gruppo di osservazioni, va tenuto premuto il tasto delle maiuscole ("Shift") sulla tastiera, e va fatto clic sulla prima delle osservazioni. Quindi ci si sposta, scorrendo la lista, sull'ultima osservazione del gruppo considerato, e si ripete l'operazione, tenendo premuto il tasto delle maiuscole e facendo clic su tale osservazione. Queste due osservazioni, e tutte quelle comprese tra loro, saranno alternativamente escluse o incluse.
Si deve però considerare la possibilità che l'osservazione incriminata sia in realtà buona. Il programma FIND_ORB segue il metodo classico di cercare un'orbita per la quale sia minimizzato l'"errore totale", cioè quello ottenuto dalla somma dei quadrati dei residui. In qualche rara circostanza, questo procedimento può far sì che una osservazione perfettamente valida abbia dei residui artificialmente alti. Per esempio, se si ha già un "pacchetto" di osservazioni, e se ne aggiunge un'altra, corrispondente ad una data molto lontana nel passato o nel futuro, quest'altra osservazione avrà dei residui grandi in modo anomalo.
In nessun caso la presenza di alti residui deve dissuadervi dal riferire le osservazioni astrometriche in questione al MPC! Il personale del MPC sarà perfettamente in grado di decidere se ignorare una data osservazione (in parte poiché disporrà di molte più osservazioni), e sarà molto meglio attrezzato per giudicare quali osservazioni siano effettivamente problematiche.
Codice sorgente di FIND_ORB in C/C++
Si può fare clic qui per scaricare il codice sorgente delle versioni di FIND_ORB per DOS e per Linux (circa 115 KByte). Sempre su questo sito Web è disponibile il codice sorgente per calcoli astronomici fondamentali; occorre aver però già scaricato una delle due versioni per Windows all'inizio di questa pagina, poiché le versioni per DOS e per Linux usano molti degli stessi file riguardanti il calcolo delle posizioni planetarie, la valutazione di quale osservazione è da considerare, e così via.
In DOS, se possedete il compilatore C/C++ della Microsoft, oppure il compilatore OpenWatcom, potete generare una "console app version" di FIND_ORB a 32 bit. Occorre prima costruire la libreria delle funzioni fondamentali con nmake lunar32.mak. Poi va avviato il file batch dos_make. A questo punto è possibile usare il programma, diciamo, con l'istruzione dos_find example, per elaborare gli oggetti che si trovano nel file di esempio ('example') fornito col programma stesso.
In Linux, occorre usare l'istruzione -f linmake per compilare le 'funzioni astronomiche fondamentali' nell'archivio lunar.a. Dopo aver fatto ciò, va eseguito make -f lin_make che compilerà le varie parti di Find_Orb e genererà un eseguibile Linux (ancora chiamato 'dos_find'... Probabilmente avrei dovuto scegliere un nome del tipo 'con_find', dalla parola 'console'!).
La funzionalità generale di questa versione da 'console' è molto simile a quella della versione per Windows; l'unica cosa è che il funzionamento avviene in modalità testo, anziché in modalità grafica. dos_find usa gli stessi algoritmi dei suoi cugini in Windows; soltanto l'interfaccia è differente. Premendo il tasto '?' (o qualunque altro tasto che non faccia parte dei comandi di dos_find), verrà visualizzata la seguente lista di comandi da eseguire mediante la tastiera (corrispondente al file dos_help.doc). Attualmente la schermata che verrà visualizzata è in inglese, come in inglese è il file dos_help.doc. Qui di seguito ne è però riportata la traduzione integrale in italiano:
I parametri che compaiono in questo programma sono sostanzialmente gli
stessi di quelli che compaiono nelle versioni per Windows, come è descritto
sulla pagina Web
http://www.projectpluto.com/find_orb.htm
I comandi, invece, sono molto diversi, poiché sono tutti da eseguire
con la tastiera:
r Imposta R1 e R2, da usare con il metodo di Herget. Verrà chiesto
di digitare i nuovi valori per entrambi.
e Imposta l'epoca. Verrà chiesto di digitare una nuova epoca (in GG).
s Imposta l'ampiezza del passo di integrazione, in giorni.
c Abilita o disabilita l'uso di orbite cometarie (e=1), quando si usa
il "passo completo".
x Alterna l'esclusione o meno dell'osservazione selezionata.
h Esegue un passo usando il metodo di Herget.
f Esegue un "passo completo" usando il metodo dei minimi quadrati.
l Imposta un'orbita limitata (es.: "e=.1", "q=12.4", "a=2.3,e=.15")
m Calcola una effemeride
o Salva gli elementi orbitali in un file
d Visualizza i residui (in forma lunga, cioè un residuo per riga)
e li salva in un file
D Visualizza i residui (in forma condensata, cioè tre residui per riga)
e li salva in un file
v Trova un'orbita del tipo Va'isa'la'
esc Esce dal programma
1...9 Alterna l'inclusione o meno di Mercurio...Plutone come oggetto perturbatore.
0 Alterna l'inclusione o meno della Luna come oggetto perturbatore.
Con l'opzione 'm' (calcola una effemeride) viene chiesto di fornire
data/ora di inizio, ampiezza del passo, e numero di passi. Le effemeridi
calcolate vengono visualizzate, e anche salvate nel file 'ephemeri.dat'.
Le opzioni 'd' e 'D' (che mostrano i residui) salvano anche il testo
visualizzato nel file 'residual.dat'.
Con l'opzione 'v' viene chiesta una distanza dell'afelio/perielio,
quindi viene trovata un'orbita che si "adatta" al meglio sui dati
osservativi, e che ha quella distanza dell'abside al centro dell'arco.
Perché dopo tutto mi sono preso il disturbo di adattare FIND_ORB, che è nato per Windows, al DOS? Vi sono due ragioni. La prima è che il codice che gestisce l'interfaccia utente di Windows è molto più difficile da interpretare. La maggior parte delle persone che mi hanno chiesto il codice sorgente per la determinazione delle orbite erano interessate alla matematica e alla fisica del problema, e non alle stravaganze del sistema operativo di Bill Gates. La seconda ragione è che la versione 'console' ha reso l'adattamento al sistema Linux quasi banale.
Forse in seguito renderò disponibile sul sito Web il codice con l'interfaccia utente di Windows. Però attualmente ha una maggiore priorità l'inserimento sul mio sito Web del codice sorgente di Charon. Se qualcuno fosse interessato a vedere il codice sorgente della versione per Windows, così "come è", può mandarmi un messaggio di posta elettronica ed io glielo spedirò con tutta la sua attuale mancanza di eleganza (il codice relativo all'interfaccia grafica di Windows non è mai elegante).
Alcune altre potenzialità che FIND_ORB avrà in futuro
Come mi succede sempre, ho una lista di cose che mi piacerebbe vedere in FIND_ORB, prima o poi:
Definizioni di alcuni termini:
Orbita cometaria. Molte comete hanno un'orbita con una eccentricità vicinissima a 1, che vuol dire che l'orbita è un'ellisse estremamente allungata (per esempio, Hale-Bopp) oppure assomiglia molto a una parabola. Se si apre la finestra di dialogo "Impostazioni", e si digita nella casella di testo "Vincoli" il vincolo di e=1, Find_Orb cercherà un'orbita cometaria. Questo può essere molto utile se si dispone soltanto di poche osservazioni su cui lavorare; in tali casi, dicendo a FIND_ORB che l'orbita deve essere parabolica (cometaria), è molto più probabile che il programma converga verso una soluzione. (In genere, questo è un buon metodo per ottenere un'orbita preliminare, quando si hanno pochi dati osservativi. Quando si ottiene una convergenza sia per un'orbita cometaria che per un'orbita non cometaria, ma si vede che l'orbita non cometaria ha un errore RMS nettamente minore, allora conviene usare la soluzione non cometaria).
Elongazione. E' l'angolo Sole-Terra-Oggetto. Quando questo valore è prossimo a zero gradi, l'oggetto è in congiunzione con il Sole. Quando è prossimo a 180 gradi, l'oggetto è quasi esattamente opposto al Sole. Ved. anche la definizione di fase.
Epoca. Nel caso di un'orbita che includa l'effetto di oggetti perturbatori, gli elementi orbitali cambieranno lentamente nel tempo. Pertanto tali elementi diventeranno dopo qualche tempo "superati", e occorrerà sostituirli con nuovi elementi riferiti ad un'epoca più vicina alla data delle osservazioni. Questo è il motivo della presenza in FIND_ORB di una piccola casella di testo, dove si può impostare il valore desiderato per l'epoca, espressa in forma di Giorno Giuliano.
Passo completo. Una volta che si sia trovata una buona approssimazione per l'orbita di un oggetto, usando (per esempio) il metodo di Herget, è possibile trovare l'orbita di "migliore adattamento" (cioè quella che si accorda meglio con tutti i dati osservativi dell'oggetto) eseguendo alcuni passi completi. Il "passo completo" usa un algoritmo matematico noto come metodo dei minimi quadrati.
Metodo di Herget. Questo è un metodo molto buono per calcolare un'orbita approssimata da un insieme di dati osservativi. Esso funziona ipotizzando che due osservazioni (in genere, la prima e l'ultima) corrispondano a distanze note, e successivamente si lavora per migliorare la qualità di tali distanze cercando di diminuire il valore dei residui. Alla fine, i "passi" del metodo di Herget portano a un insieme di residui minimi, e si ottiene una discreta approssimazione dell'orbita vera dell'oggetto. A questo punto, si può passare all'uso del passo completo.
Chi si volesse avventurare tra i dettagli matematici può essere interessato a vedere questa descrizione degli algoritmi su cui è basato il metodo di Herget, con particolare riguardo ad alcuni metodi con cui è stato 'semplificato' e nello stesso tempo reso più potente in FIND_ORB.
Giorno Giuliano. (Da non essere confuso con il calendario Giuliano, che è tutta un'altra cosa!) Il Giorno Giuliano (GG) è un sistema per contare il tempo indicando il numero di giorni trascorsi dal mezzogiorno dell'1 Gennaio -4713. Usando semplicemente il numero dei giorni (inclusa la parte frazionaria) trascorsi da quell'istante, si evitano le complessità connesse con il sistema tradizionale di giorno/mese/anno e ore/minuti/secondi. Inoltre, ponendo l'istante iniziale in un passato così lontano, oltre 6700 anni fa, si evitano i valori negativi.
Satelliti irregolari. I satelliti naturali possono essere suddivisi in due gruppi. Il primo gruppo è quello con orbita "regolare" vicina a un pianeta, posta nel piano equatoriale del pianeta, e percorsa nella stessa direzione in cui ruota il pianeta (orbita con moto diretto). Tutti i satelliti regolari conosciuti hanno il loro moto di rotazione, per l'effetto di marea, agganciato al loro moto di rivoluzione attorno al pianeta primario, cosicché (come per la nostra Luna) non appaiono ruotare quando sono visti dal pianeta primario. L'ipotesi è che essi si siano formati contemporaneamente al pianeta.
I satelliti irregolari, d'altra parte, hanno un'orbita indipendente dall'equatore o dalla rotazione del pianeta, e possono avere o un moto diretto o un moto retrogrado. Inoltre essi sono anche piuttosto lontani dal pianeta primario. Tutti e quattro i giganti gassosi hanno satelliti di questo genere.
Minimi quadrati. Il metodo dei minimi quadrati è un algoritmo matematico molto comune, ideato da C. F. Gauss intorno all'anno 1800. Si parte dall'ipotesi che siano state compiute alcune osservazioni (nel nostro caso, della posizione di un corpo celeste) e che si abbia una teoria, o "modello", per descrivere il fenomeno osservato (nel nostro caso, le leggi del moto di Newton). Le differenze tra i valori osservati e quelli calcolati sono dette residui; il metodo dei minimi quadrati afferma che il "miglior" modello è quello che corrisponde a un minimo della somma dei quadrati dei residui. (C'è da aggiungere tuttavia che alcune osservazioni saranno più precise di altre, e che si ipotizza che la distribuzione degli errori assomigli a una distribuzione normale, detta anche "distribuzione Gaussiana", o più popolarmente "curva a campana").
Parametri di magnitudine. Le previsioni per la magnitudine degli asteroidi e delle comete sono effettuate usando, per ciascun oggetto, delle quantità note come "parametri di magnitudine". Se FIND_ORB calcola l'orbita di un oggetto la cui magnitudine è stata misurata, anche una volta sola, allora effettuerà il calcolo di questi parametri.
Perturbazioni. Un oggetto in orbita attorno al Sole dovrebbe seguire, in teoria, un percorso che è una perfetta ellisse, o una parabola, o un'iperbole. Tuttavia le forze gravitazionali (note come perturbazioni) esercitate da tutti i pianeti, satelliti e (in minore misura) asteroidi del sistema solare fanno sì che il moto reale sia molto più complesso. Nel programma FIND_ORB vi sono delle caselle, in cui si può mettere il segno di spunta, che consentono di includere (o, come impostazione predefinita, non includere) l'effetto perturbatore di questi oggetti.
Fase. E' l'angolo Sole-Oggetto-Terra. Quando questo valore è prossimo a zero gradi, l'oggetto è quasi completamente illuminato dal Sole. Quando è prossimo a 180 gradi, l'oggetto è sul punto di effettuare un transito sul Sole, ed è quasi totalmente non-illuminato dal Sole. Ved. anche la definizione di elongazione.
Vettori P, Q, R. Gli elementi orbitali del MPC, e gli elementi visualizzati in Find_Orb, mostrano i vettori P e Q nelle colonne alla destra degli elementi 'standard'. Questi vettori sono usati spesso per calcolare le posizioni a partire dagli elementi orbitali. P è un vettore unitario che dà la direzione che va dal centro del sole al punto del perielio dell'orbita dell'oggetto. Q è un vettore unitario ad angolo retto rispetto a P, ma che giace sul piano dell'orbita dell'oggetto. R è un vettore unitario ad angolo retto rispetto agli altri due (e quindi ad angolo retto rispetto al piano dell'orbita). Così, Q = R x P, R = P x Q, e P = Q x R, dove si è indicato con 'x' il prodotto vettoriale tra i due vettori. L'utilità di tutto questo è che, se è noto che l'oggetto ha una anomalia vera v e una distanza r dall'oggetto primario, si può ricavare la sua posizione dall'espressione
r * (P cos v + Q sin v)
'R', il vettore normale al piano dell'orbita, non è quasi mai mostrato, poiché non compare nella formula precedente.
Residui. Quando si cerca di determinare l'orbita di un oggetto, si troverà sempre qualche differenza tra le posizioni "osservate" (misurate su un'immagine ottenuta con un rivelatore CCD), e le posizioni "calcolate" (calcolate, cioè, usando gli elementi orbitali precedentemente determinati). Queste differenze sono indicate con vari nomi: "osservazione meno calcolo", "O-C", "errori residui", o semplicemente "residui". In sostanza, dovrebbero rappresentare gli errori casuali commessi durante le osservazioni, come avviene inevitabilmente nel mondo reale.
Retrogrado. Visti da un punto di osservazione "al di sopra" dell'eclittica, quasi tutti i pianeti e i satelliti orbitano in verso antiorario, detto anche "diretto". Alcuni satelliti di Giove e uno di Saturno, tuttavia, orbitano in verso opposto, con un moto detto "retrogrado". Tutti questi oggetti sono piuttosto piccoli e poco brillanti.
Errore RMS . "RMS" corrisponde all'inglese "Root mean square", cioè "errore quadratico medio". Si tratta di una versione modificata della media dei residui. (Ad essere matematicamente precisi, si tratta della radice quadrata del valor medio dei quadrati dei residui. Se si prendono i quadrati di tutti i residui, se ne fa la media, e si estrae la radice quadrata del risultato, si ottiene l'errore quadratico medio, detto anche errore RMS). Se si misurano con Charon delle osservazioni ottenute con un rivelatore CCD, e l'orbita è determinata in modo accurato, l'errore RMS non dovrebbe superare il secondo d'arco. Se gli errori sono molto più grandi di tale valore, occorre continuare a lavorare per raffinare il calcolo dell'orbita, oppure vuol dire che ci sono dei problemi con i dati osservativi.
Sfera di influenza. Per un oggetto in orbita attorno a un pianeta, è ragionevole usare elementi orbitali riferiti al centro del pianeta. Al contrario, per un oggetto lontano da qualsiasi pianeta, è ragionevole usare elementi eliocentrici. Vi è una regione quasi sferica attorno ad ogni pianeta, per la quale gli elementi riferiti al centro del pianeta risultano la scelta migliore: cioè una soluzione basata su due corpi, riferita al centro del pianeta, rappresenta il moto dell'oggetto meglio di una soluzione, sempre basata su due corpi, ma riferita al centro del Sole. Questa regione è la "sfera d'influenza" del pianeta.
Si può comunque scavalcare la decisione di Find_Orb e insistere nel volere il calcolo basato su un'orbita eliocentrica; vi è allo scopo una casella di controllo da marcare.
Danby mostra che, per un pianeta di massa Mp a una distanza R dal sole (di massa Ms), questa sfera ha un raggio r dove
r = R (Mp/Ms)(2/5)
Qui di seguito sono riportati i raggi della sfera d'influenza per la maggior parte dei pianeti. (Per la Luna, dobbiamo usare la formula r=R(Mluna/Mterra)(2/5), dove R è la distanza Terra-Luna. Finora non mi è mai capitato di vedere un oggetto dentro la sfera d'influenza della Luna, e quindi non ho mai visto Find_Orb generare un'orbita selenocentrica).
Pianeta r(UA) r(km) Mercurio 0.001 112000 Venere 0.004 614000 Terra 0.006 921000 Marte 0.004 575000 Giove 0.322 48000000 Saturno 0.365 54300000 Urano 0.346 51600000 Nettuno 0.579 86000000 Plutone 0.022 3300000 Luna 0.00046 69000
Orbite del tipo Väisälä. Un oggetto appena scoperto può avere solo due osservazioni note, oppure può essere stato osservato per un periodo di tempo così breve che la sua orbita non è affatto ben definita (cioè non si può dire se si tratta di un oggetto vicino che si muove lentamente, oppure di un oggetto più lontano che si muove rapidamente, e tutti i casi intermedi sono ugualmente possibili). In effetti, questo normalmente avviene per un oggetto appena scoperto. In tali casi, si determina in genere un'orbita del tipo Väisälä: si tratta di un'orbita in cui si ipotizza che l'oggetto si trovi ad una particolare distanza dal sole, e che si muova ad angolo retto rispetto al sole (che è come dire che l'oggetto si trovi o al perielio o all'afelio). Con queste ipotesi, l'orbita è definita in modo univoco, e si possono quindi generare delle effemeridi che (normalmente) saranno abbastanza valide per ritrovare l'oggetto qualche notte dopo. Fare clic qui per vedere in dettaglio come determinare un'orbita del tipo Väisälä.